उदाहरण: गाऊसी पूर्णांकों का वलय Z एक अंतिम रूप से उत्पन्न Z-मॉड्यूल है, और Z Noetherian है। पिछले प्रमेय के अनुसार, Z एक नोथेरियन वलय है। प्रमेय: नोथेरियन वलय के भिन्नों के वलय नोथेरियन हैं।
क्या Z X नोथेरियन रिंग है?
रिंग Z[X, 1 /X] नोथेरियन है क्योंकि यह Z[X, Y]/(XY - 1) के लिए आइसोमॉर्फिक है।
Z Noetherian क्यों है?
लेकिन Z में केवल बहुत से आदर्श हैं जिनमें I1 शामिल है क्योंकि वे लेम्मा 1.21 द्वारा परिमित वलय Z/(a) के आदर्शों के अनुरूप हैं। इसलिए श्रृंखला असीम रूप से लंबी नहीं हो सकती, और इस प्रकार Z नोथेरियन है।
नोथेरियन डोमेन क्या है?
कोई भी प्रमुख आदर्श वलय, जैसे कि पूर्णांक, नोथेरियन है चूंकि प्रत्येक आदर्श एक ही तत्व से उत्पन्न होता हैइसमें प्रमुख आदर्श डोमेन और यूक्लिडियन डोमेन शामिल हैं। एक डेडेकाइंड डोमेन (उदाहरण के लिए, पूर्णांक के छल्ले) एक नोथेरियन डोमेन है जिसमें प्रत्येक आदर्श अधिकतम दो तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है।
आप कैसे साबित करते हैं कि अंगूठी नोथेरियन है?
प्रमेय A वलय R नोथेरियन है यदि और केवल यदि R के आदर्शों के प्रत्येक गैर-रिक्त समुच्चय में एक अधिकतम तत्व हो प्रमाण ⇐=मान लीजिए I1 ⊆ I2 ⊆··· आर के आदर्शों की एक आरोही श्रृंखला। एस={आई 1, आई 2, …} रखो। यदि आदर्शों के प्रत्येक गैर-खाली सेट में एक अधिकतम तत्व होता है तो S में एक अधिकतम तत्व होता है, मान लीजिए IN.
