क्योंकि एक समरूपता एक सेट या गणितीय समूह के कुछ संरचनात्मक पहलू को संरक्षित करता है, इसका उपयोग अक्सर एक जटिल सेट को एक सरल या बेहतर ज्ञात सेट पर मैप करने के लिए किया जाता है ताकि इसे स्थापित किया जा सके मूल सेट के गुण। समरूपता समूह सिद्धांत में अध्ययन किए गए विषयों में से एक है।
समरूपता कार्य क्या है?
अमूर्त बीजगणित में, एक समूह समरूपता दो समूहों के बीच एक कार्य है जो समूहों के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार को इस तरह से सेट करता है जो दिए गए समूह संचालन का सम्मान करता हैयदि दो समूहों के बीच एक समरूपता मौजूद है, तो समूहों को समरूपी कहा जाता है।
समरूपता क्या बनाता है?
परिभाषा 1 (सदिश रिक्त स्थान का समरूपता)।एक ही क्षेत्र F पर दो सदिश रिक्त स्थान V और W समरूपी हैं यदि एक द्विभाजन है T: V → W जो जोड़ और अदिश गुणन को संरक्षित करता है, अर्थात सभी सदिशों के लिए u और v में V, और सभी अदिश c ∈ F, T(u + v)=T(u) + T(v) और T(cv)=cT(v)।
दो समूहों के बीच समरूपता का क्या लाभ है?
समूह विभिन्न गुणों या विशेषताओं को समाहित करता है जो समरूपता में संरक्षित हैं एक समरूपता समूह के क्रम जैसे गुणों को संरक्षित करता है, चाहे समूह आबेलियन हो या गैर-एबेलियन, की संख्या प्रत्येक क्रम के तत्व, आदि। दो समूह जो इनमें से किसी भी गुण में भिन्न हैं, समरूपी नहीं हैं।
समरूपता का गुण क्या है?
प्रमेय 1: यदि समरूपता दो समूहों के बीच मौजूद है, तो सर्वसमिकाएँके अनुरूप हैं, अर्थात यदि f:G→G′ एक समरूपता है और e, e′ क्रमशः सर्वसमिकाएँ हैं G, G′ में, फिर f(e)=e′.
