सभी चक्रीय समूह एबेलियन हैं , लेकिन एक एबेलियन समूह आवश्यक रूप से चक्रीय नहीं है। एबेलियन समूह के सभी उपसमूह सामान्य होते हैं। एक एबेलियन समूह में, प्रत्येक तत्व अपने आप में एक संयुग्मन वर्ग में होता है, और वर्ण तालिका में एक एकल तत्व की शक्तियां शामिल होती हैं जिसे समूह जनरेटर समूह जनरेटर के रूप में जाना जाता है समूह तत्वों का एक सेट जैसे कि जनित्रों का स्वयं पर और एक-दूसरे पर बार-बार प्रयोग होने से समूह के सभी तत्वों का उत्पादन करने में सक्षम है। चक्रीय समूहों को एकल जनरेटर की शक्तियों के रूप में उत्पन्न किया जा सकता है। https://mathworld.wolfram.com › GroupGenerators
ग्रुप जेनरेटर -- वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड से
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कौन सा समूह एबेलियन नहीं है?
एक गैर-एबेलियन समूह, जिसे कभी-कभी एक गैर-अनुवांशिक समूह के रूप में भी जाना जाता है, एक ऐसा समूह है जिसके कुछ तत्व आवागमन नहीं करते हैं। सबसे सरल गैर-एबेलियन समूह dihedral group D3 है, जो समूह क्रम छह का है।
क्या सभी साधारण समूह अबेलियन हैं?
एकमात्र सरल एबेलियन समूह हैं प्राइम ऑर्डर के समूह, जो सभी परिमित हैं। अनंत सरल समूह हैं, जो इसलिए गैर-अबेलियन हैं।
आपको कैसे पता चलेगा कि कोई समूह अबेलियन है?
समूह दिखाने के तरीके एबेलियन हैं
- कम्यूटेटर दिखाएं [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 दो आर्बिटरी तत्वों में से x, y∈G x, y ∈ G की पहचान होनी चाहिए।
- दिखाएं कि समूह दो एबेलियन (उप) समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए समरूप है।
कौन सा समूह हमेशा एबेलियन होता है?
हां, सभी चक्रीय समूह एबेलियन हैं। यहां थोड़ा और विवरण दिया गया है जो यह स्पष्ट करने में मदद करता है कि "क्यों" सभी चक्रीय समूह अबेलियन (यानी कम्यूटेटिव) हैं। माना G एक चक्रीय समूह है और g G का जनक है।
