एबेलियन समूह चक्रीय कब होता है?

2024 लेखक: Fiona Howard | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-10 06:37

अनौपचारिक रूप से, एक समूह चक्रीय होता है यदि यह एक ही तत्व द्वारा उत्पन्न होता है। गुणन आने पर यह अबेलियन है। एक समूह चक्रीय होता है यदि इसे एक तत्व द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है।

क्या एबेलियन समूह चक्रीय है?

सभी चक्रीय समूह एबेलियन हैं, लेकिन एक एबेलियन समूह आवश्यक रूप से चक्रीय नहीं है। एबेलियन समूह के सभी उपसमूह सामान्य होते हैं। एक एबेलियन समूह में, प्रत्येक तत्व अपने आप में एक संयुग्मी वर्ग में होता है, और वर्ण तालिका में समूह जनरेटर के रूप में ज्ञात एकल तत्व की शक्तियां शामिल होती हैं।

आप कैसे साबित करते हैं कि एक एबेलियन समूह चक्रीय है?

सबूत।

1. चलो G एक चक्रीय समूह है जिसमें जनरेटर g∈G है। अर्थात्, हमारे पास G=⟨g⟩ (G में प्रत्येक तत्व g की कुछ शक्ति है।)
2. चलो ए और बी जी में मनमाना तत्व हैं। फिर n, m∈Z इस तरह मौजूद है कि a=gn और b=gm।
3. इसलिए हम प्राप्त करते हैं ab=ba मनमाने ढंग से a, b∈G के लिए। अत: G एक आबेली समूह है।

आपको कैसे पता चलेगा कि कोई समूह चक्रीय है?

4 उत्तर। एक परिमित समूह चक्रीय होता है, और केवल अगर, इसके क्रम के प्रत्येक भाजक का एक उपसमूह होता है। इसलिए यदि आपको एक ही क्रम के दो उपसमूह मिलते हैं, तो समूह चक्रीय नहीं है, और यह कभी-कभी मदद कर सकता है।

चक्रीय समूह क्या है उदाहरण सहित समझाएं?

उदाहरण के लिए, (Z/6Z)^×={1, 5} , और चूंकि 6 विषम अभाज्य का दोगुना है। एक चक्रीय समूह है। … जब (Z/nZ)^× चक्रीय होता है, तो इसके जनक आदिम मूल मॉड्यूल n कहलाते हैं। एक अभाज्य संख्या p के लिए, समूह (Z/pZ)^{× हमेशा चक्रीय होता है, जिसमें क्रम p. के परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्व होते हैं।}