यदि A एक m × n मैट्रिक्स है, तो ATA और AAT में समान गैर-शून्य eigenvalues हैं … इसलिए Ax, eigenvalue के अनुरूप AAT का एक आइजेनवेक्टर है। एक समान तर्क का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि AAT का प्रत्येक गैर-शून्य eigenvalue ATA का एक eigenvalue है, इस प्रकार प्रमाण को पूरा करता है।
क्या एएटी और एटीए के प्रतिमान समान हैं?
मैट्रिसेस एएटी और एटीए में समान गैर-शून्य eigenvalues हैं। धारा 6.5 ने दिखाया कि इन सममित आव्यूहों के eigenvectors ओर्थोगोनल हैं।
क्या एटीए एएटी के समान है?
चूंकि एएटी और एटीए वास्तविक सममित हैं, उन्हें ओर्थोगोनल मैट्रिस के साथ विकर्ण किया जा सकता है। यह पिछले कथन से अनुसरण करता है (चूंकि ज्यामितीय और बीजगणितीय गुणन मेल खाते हैं) कि AAT और ATA के समान eigenvalues।
क्या एटीए के विशिष्ट स्वदेशी मूल्य हैं?
सच। उदाहरण के लिए, यदि A=1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , तो अभिलक्षणिक समीकरण det(A - λI)=−25 − 15λ + 10λ2 - λ3=0 का कोई पुनरावृत्त मूल नहीं है। इसलिए A के सभी eigenvalues अलग हैं और A विकर्णीय है। 3.35 किसी भी वास्तविक मैट्रिक्स A के लिए, AtA हमेशा विकर्णीय होता है।
क्या विभिन्न eigenvectors का एक ही eigenvalue हो सकता है?
एक ही Eigenvalue के अनुरूप दो अलग-अलग Eigenvectors हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होते हैं। एक ही आइजेनवेल्यू के संगत दो अलग-अलग आइजेनवेक्टर हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।
