प्रमेय 1 प्रत्येक वास्तविक संख्याओं का कॉची अनुक्रम एक सीमा तक अभिसरण करता है।
आप कॉची अनुक्रम की सीमा कैसे ज्ञात करते हैं?
साबित करें: एक कॉची अनुक्रम की सीमा an=limn→∞an.
क्या प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसरण करता है?
हर वास्तविक कॉची अनुक्रम अभिसारी है। प्रमेय।
क्या सभी अभिसरण अनुक्रमों की एक सीमा होती है?
इसलिए सभी अभिसरण अनुक्रमों के लिए सीमा अद्वितीय है। संकेतन मान लीजिए {an}n∈N अभिसारी है। तब प्रमेय 3.1 द्वारा सीमा अद्वितीय होती है और इसलिए हम इसे l के रूप में लिख सकते हैं, मान लीजिए।
क्या कोई क्रम दो अलग-अलग सीमाओं में परिवर्तित हो सकता है?
इसका मतलब है कि L1 - L2=0 ⇒ L1=L2, और इसलिए सीक्वेंस की दो अलग-अलग सीमाएं नहीं हो सकती हैं. इसके लिए, चूंकि एक एल1 में अभिसरण करता है, हमारे पास एक सूचकांक N1 मौजूद है ताकि |an −L1| एन1. उसी समय, एक एल2 में परिवर्तित हो जाता है, और इसलिए एक इंडेक्स एन2 होता है ताकि |an −L2| एन2.
